Le petit roi, enfant autiste



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Division avec un dividende à 2 chiffres et un diviseur à un seul chiffre
Cas particulier de premier chiffre du dividende inférieur au diviseur
Division avec un dividende à 3 chiffres et un diviseur à un seul chiffre
Division avec un dividende à 4 chiffres et un diviseur à un seul chiffre
Donner du sens à la division
Le vocabulaire de la division
Division avec un dividende à 3 chiffres et un diviseur à 2 chiffres
Vocabulaire et manipulation
Un exemple d'application : partager un ruban
Les tables de division
Diviser par 10, 100 et 1000
Préparation à la division
Calcul mental : diviser par 2
Partager, c'est diviser
Division d'un décimal par un nombre entier
Continuer une division après le quotient entier.
Trouver la valeur approchée d'un quotient.
Notion de diviseur.

Les divisions ont été abordées, à l'école de notre fils, à la fin du CE2.Je n'avais pas anticipé car je ne pensais pas que ce serait déjà au cours de cette année scolaire. J'ai donc réfléchi sur un week end, pour proposer au petit roi une méthode lui permettant d'acquérir la technique opératoire.  C'est cette méthode que je vous présente ci-dessous.

En amont, on peut proposer des exercices pour préparer à la division. Vous pouvez les voir ici.


Division avec un dividende à deux chiffres et un diviseur à un seul chiffre.

Comme pour les autres opérations, je propose au petit roi un cadre pour faire sa division. Cela l'aide à placer les chiffres au bon endroit.

Fiche de la division d'un nombre à 2 chiffres
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J'écris le dividende et le diviseur. Là, l'enfant doit repérer le diviseur. Il dit alors, je cherche la table des.... ; ici, la table des 4.
En effet, notre fils connaît très bien les tables de multiplication mais il a encore du mal à placer un nombre par rapport à un autre.Je lui ai donc préparé, sur des feuilles indépendantes, chaque table de multiplication de 1 à 9.

Fiches des tables pour la division
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Notre fils ne comprend pas la phrase utilisée à l'école qui est "dans 8, combien de fois 4". On écrit donc sur une petite étiquette en forme de flèche, le premier chiffre du dividende. Le petit roi travaille ici avec sa mamie pendant que je prends les photos (merci maman!)
L'enfant positionne cette étiquette sur la feuille sur laquelle il y a la table des 4. Je lui ai appris qu'il fallait pour cela s'intéresser aux nombres de droite. Il repère alors, le chiffres qu'il va mettre  au quotient. Je lui indique qu'il doit prendre le chiffre qui est sur la même ligne (comme c'est le cas ici : il doit mettre le 2 au quotient) ou, si l'étiquette se place entre deux nombres, celui qui est sur la ligne au-dessus.
Une fois qu'il a posé le 2 dans le quotient, il procéde comme tout le monde : 2 x 4 = 8. Il place alors le résultat de son calcul dans la case qui est en pointillés en dessous du chiffre du dividende et il fait la soustraction.
Puis, aidé par la grosse flêche rouge, il "descend" le second chiffre du dividende.
On réalise alors l'étiquette pour le nombre qui apparaît dans les cases dont le contour est en trait continu. Ici, "9".
Et le petit roi positionne cette nouvelle étiquette sur la table du 4.
Le petit roi a trouvé 2 qu'il écrit alors dans le quotient et compte à nouveau ici "2 x 4 = 8". Il positionne son résultat dans les nouvelles cases en pointillés 
Il fait la soustraction.
Il remplit alors la ligne phrase qui est au bas de la page et qui l'oblige à formuler ce qu'il a fait et ce qu'il a trouvé.

Sur cette feuille, j'avais mis une case en trop au quotient (j'avais un peu mal réfléchi car un nombre à 2 chiffres au dividende ne peut pas donner de quotient à 3 chiffres!!). J'ai supprimé cette case sur les feuilles que je vous propose en téléchargement.


Cas particulier d'un premier chiffre du dividende inférieur au diviseur.

Il me semble indispensable de proposer à nos enfants des méthodes qui,si possible, fonctionnent dans tous les cas. Voyons donc le cas particulier d'une division où le premier chiffre du dividende est inférieur au diviseur.

Dans le cas décrit ici, le premier chiffre du dividende "2" est inférieur au diviseur "6".
Le petit roi commence donc par chercher la table du diviseur ; ici, la table des 6.
Comme précédemment, je fais une étiquette avec le premier chiffre du dividende : soit 2
Notre fils postionne son étiquette sur la table des 6. J'ai pris la précaution de faire commencer toutes les tables que je propose par " 0 x....". Ainsi, ici, il positionne le 2 entre le 0 et le 6 de la partie droite.
Il lit alors sur la table qu'il faut qu'il mette 0 au quotient.
Il pratique alors de façon identique à ce que j'ai décrit précédemment : 0 x 6 = 0. Il positionne alors ce 0 dans la case en pointillés sous le premier chiffre du dividende.Puis, il réalise la soustraction : 2 - 0 = 2. 
   Ensuite, comme l'y incite la grosse flèche rouge, il "descend" le 4 pour obtenir le "24". Cette première étape peut paraître inutile mais elle permet à notre fils d'avoir à éviter de se poser la question du choix de 1 ou de 2 chiffres du dividende pour commencer la division. Dans tous les cas, il ne commence que par le permier chiffre.
Ensuite, le reste de la méthode est identique : je fais une étiquette avec le 24 ; il la positionne sur la table des 6.
Il trouve alors qu'il faut mettre 4 au quotient.
Il fait la multiplication suivante : " 4 x 6 = 24" qu'il inscrit dans les cases en pointillés puis il se prépare à réaliser la soustraction.
L'opération est alors terminée.
Il compléte alors la phrase qui est en bas de page.


Division avec un dividende à trois chiffres et un diviseur à un seul chiffre.
Je demande au petit roi de procéder de la même façon lorsque le dividende a 3 chiffres mais il y a une étape supplémentaire et il m'a donc fallu proposer une autre fiche "cadre" pour tenir compte de celle-ci.


Voici la nouvelle fiche cadre que je vous propose en téléchargement ci-dessous.




Le petit roi chercher la table des 5 puisque c'est le diviseur.


C'est encore mamie qui sert d'assistante. Dommage qu'elle habite si loin, on pourrait l'embaucher plus souvent!!



Le premier chiffre du dividende est 1 : mamie prépare l'étiquette avec ce nombre.



Le petit roi positionne l'étiquette sur la table des 5.



Il trouve alors qu'il faut mettre 0 au quotient.



0 x 5 = 0  : il écrit 0 dans le premier cadre en pointillés.


Il réalise la soustraction et "descend" le chiffre suivant : ici, le 6.


Mamie prépare alors, à la demande du petit roi, l'étiquette du 16.



Il positionne cette étiquette sur la table du 5.



Il trouve alors qu'il faut mettre 3 au quotient.



3 x 5 = 15 : il écrit 15 dans les cadres en pointillés.


Il réalise la soustraction


Il "descend" le dernier chiffre. Ici, le 9.


Il positionne la dernière étiquette sur la table du 5.


Et trouve qu'il faut à nouveau mettre 3 au quotient.


3 x 5 = 15 : il écrit 15 dans les derniers cadres en pointillés.


Réalise la soustraction : l'opération est terminée.


Bien entendu, il complète la phrase réponse en bas de la page.

Fiche de la division d'un nombre à 3 chiffres

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Division avec un dividende à quatre chiffres et un diviseur à un seul chiffre.

C'est la même méthode que décrite précedemment, il n'y a que la fiche support qui change....




















Fiche de la division d'un nombre à 4 chiffres
par un diviseur à un chiffre
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Donner du sens à la division.

Comme chaque fois que l'on aborde une notion, il y a deux temps : l'automatisation du mécanisme de l'opération, et le fait de lui donner du sens. Autrement dit, permettre au petit roi de comprendre pourquoi on fait cette opération et ce que signifie le résultat. Cette dernière partie est bien la plus compliquée !!
Pour essayer de donner du sens à la division, j'ai utilisé des petits "cailloux" de verre que j'ai achetés dans une foirefouille. Ces petits "cailloux" ont la particularité d'être ronds (ce qui les rend agréables au toucher), mais en ayant une face bien plane (qui leur donne une bonne stabilité lorsqu'ils sont posés sur la table).


Je choisis une opération dont le dividende n'est pas trop élevé.

Nous comptons, sur une feuille, à côté, le nombre de "cailloux" qui correspond au dividende.

On réalise, sur une troisième feuille, un nombre de ronds qui équivaut au diviseur.


Le petit roi dispose ainsi de tout ce qui lui est nécessaire, posé côte à côte.

Il réalise alors la division en utilisant la méthode que j'ai décrite ci-dessus.

Il note le résultat à l'aide de la phrase qui est prévue à cet effet.


Il déplace ensuite les cailloux que nous avons préalablement préparés dans les ronds. Je lui ai appris qu'il devait mettre dans chaque rond (représentant le diviseur), le nombre de cailloux qu'il a trouvé au quotient.

Ainsi, ici, il compte 6 cailloux dans chacun des 4 ronds que nous avions préparés.



Lorsqu'il a fini sa distribution dans chaque rond, il met le ou les cailloux qui restent, dans un carré que nous avons dessiné au préalable. On vérifie alors qu'il y a un nombre de cailloux dans ce carré qui est  égal au nombre que l'on trouve comme "reste" dans la division.




Le vocabulaire de la division. (voir ici)




Division avec un dividende à trois chiffres et un diviseur à 2 chiffres.

    Au CM1, les choses se compliquent progressivement. On aborde la division avec un diviseur à 2 chiffres.






J'ai préparé une fiche support, avec les cases, qui est basée sur la même idée que les fiches précédentes ; j'ai uniquement adapté le nombre de cases.


Fiches à télécharger
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Mais, nous n'avons pas la table du nombre diviseur, comme c'était le cas précédemment. Je propose donc à notre fils de la construire, sinon, il n'a aucune idée de combien de fois 16, il va pouvoir trouver dans 75 !


Fiche à télécharger
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Multiplier 16 par zéro et par 1, ne pose pas de problème.



Par contre, c'est plus compliqué de multiplier 16 par 2 sans poser l'opération. On adopte donc la technique suivante : Le petit roi multiplie les unités (ici 6) par 2. Ici, cela fait 12. Il écrit donc le 2 de 12 dans la case qui est prévue pour inscrire le résultat,
.....



Puis, il écrit le 1 de 12 sur la partie gauche de la feuille. Et on dit "je retiens 1".




Ensuite, il multiplie le chiffre des dizaines par 2 (ici, le 1 de 16) et ajoute la retenue qu'il a mise à gauche. Quand il a additionné la retenue, il la barre pour indiquer qu'il ne l'a pas oublié et pour ne pas l'utiliser une seconde fois.




On continue ainsi de suite pour le reste de la table.




Pour la multiplication par 10, le petit roi n'a pas besoin de faire de calcul car il sait désormais qu'il suffit de réécrire le nombre que l'on souhaite multiplier par 10 et d'y ajouter un zéro à la fin (voir ici).


On compte le nombre de chiffre qu'il y a au diviseur. Ici, il y a deux chiffres.

Et on prend en compte le même nombre de chiffres au dividende que l'on relie avec un arc de cercle pour indiquer que dans un premier temps, il n'y a que ces chiffres qui nous interessent. Soit, ici, 75.

Je fais une étiquette avec le nombre que le petit roi m'a indiqué (ici 75) et il place l'étiquette sur la table des 16 qu'il a préalablement construite. Ainsi, il trouve dans ce cas, que dans 75, il y a 4 fois 16.

On place le 4 au quotient et on réalise à nouveau la multiplication. En effet, cela est la démarche qu'il aura à avoir lorsqu'il n'aura (peut être un jour) plus besoin de se servir de la table à construire.....
Donc, 4 fois 6 donne 24, on inscrit le 4 dans  la case et on retient 2 (à gauche) puis, 4 fois 1 donne 4 auxquels on ajoute les 2 que l'on a retenu. Cela fait 6 que l'on inscrit dans la case des dizaines. On obtient donc les 64 attendus.


Ensuite, c'est comme dans toutes les divisions. On fait la soustraction.




On "descend" le chiffre suivant du dividende (ici le 8).



On fait une nouvelle étiquette pour chercher dans la table le chiffre que l'on va mettre au quotient.




On multiplie 16 par 7, on inscrit le résultat dans les cases et on fait la soustraction.



L'opération est terminée. On compléte la phrase réponse pour se rappeler ce que l'on a fait.



Et voilà le travail......

A raison de deux divisions par séance de travail à table, pendant une durée indéterminée, cela devrait devenir automatique....

à consommer sans modération....


Vocabulaire et manipulations.

    On utilise les divisions dans les situations de partage. Les problèmes, que l'on rencontre, évoquent souvent la répartition d'objets entre plusieurs personnages. La formulation utilisée est fréquemment du style : "la maman donne trois bonbons à chaque enfant". Je me suis rendue compte que le terme "chaque" n'était pas au répertoire du petit roi. Je lui propose donc une petite activité de manipulation de graines pour l'aborder (cela présente aussi l'avantage de travailler la motricité fine qui n'est pas son point fort!).


Cette activité est destinée à être réalisée de façon autonome (même si cela n'a pas été le cas lors des deux premières fois). Tout est donc exposé sur la table.

Le petit roi dispose d'une boite remplie de pois chiche sec et d'une boite à oeufs vide. La boite est posée sur un plateau pour récupérer, si possible, les petites graines qui "s'échappent".

Un papier indique au petit roi ce qu'il doit faire. Il doit mettre un nombre de graines défini dans chaque "trou" de la boite. Il lui a fallu plusieurs essais pour comprendre mais maintenant c'est bon!




Un exercice simple d'application de la division : partager un ruban

    Comprendre le sens d'une opération passe par la réalisation de petits problèmes simples et répétitifs.



Fiche "partager un ruban"
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Les tables de division

    Comme il faut apprendre les tables de multiplication, il faut savoir les tables de division. Bien sûr, elles se déduisent des tables de multiplication, mais il faut entraîner le petit roi à les utiliser sans avoir à réfléchir longtemps. Cela nous servira aussi pour les fractions.




Fiche "les tables de division"
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Diviser un nombre par 10, 100 ou 1000.

    Nous avons déjà travaillé partiellement cette notion lorsque nous avons travaillé sur les fractions (voir ici). On reprend donc cette notion, que l'on approfondit en divisant aussi par 1000.




On écrit le nombre dividende, puis on compte le nombre de zéro au diviseur.

On compte autant de chiffres qu'il y a de zéro au diviseur mais attention, en partant de la droite (c'est à dire des unités) et on met une virgule.

Fiche "Diviser par 10, 100 ou 10000"
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Préparation à la division.

Pour savoir quel chiffre mettre au diviseur, il faut savoir utiliser les tables de multiplication. C'est ce que je propose dans les exercices suivants : Il s'agit d'indiquer l'encadrement du nombre proposé dans la table qui est imposée par l'exercice. Pour cela, nous utilisons les tables de multiplication et le système des étiquettes tel que je l'ai décris dans la présentation de la division.


Fiche "Préparation à la division - série 1"
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Dans le même ordre d'idée, voici un travail qui permet de travailler le passage à la division sans support.


Fiche "Préparation à la division - série 2"
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Calcul mental : diviser par 2.

Régulièrement, les enseignants proposent des petits exercices de calcul mental. Cela est très pratique ensuite pour accélérer le temps de réaction dans la vie de tous les jours. C'est dans ce cadre là, que nous avons commencé ce travail de calcul qui consiste à diviser un nombre par 2 sans poser l'opération. Pour cette première étape, j'ai choisi de mettre presque uniquement des nombres composés de chiffres pairs, ce qui facilite drôlement la tâche.


Fiche "calcul mental : diviser par 2"
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Partager, c'est diviser.

Quand faut-il faire une division? Première approche du vocabulaire qui, dans un énoncé de problème, donne l'indication qu'il faut faire une division.


Fiche "partager, c'est diviser"
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Division d'un décimal par un nombre entier.


Une liste de division à réaliser. Vous avez 12 fiches comme celle-ci à télécharger.

Des petites cartes support avec des cadres pour poser les divisions.
Elles sont à la fin du fichier à télécharger en deux formats différents.


Le petit roi écrit l'opération à réaliser dans les cadres.

Au niveau de la virgule, il fait un trait qui va jusqu'en bas de la fiche.

Ce trait est une "barrière" qui marque la virgule. Quand on la "franchira", il faudra se rappeler qu'il y a une virgule dans le dividende.

On pratique la division comme on l'a vu ci-dessus en utilisant les tables de multiplication comme support.

Là, on arrive à la "barrière" : avant de pouvoir "descendre" le chiffre qui suit (ici le 8), la "barrière" nous indique que c'est maintenant qu'il faut mettre la virgule au quotient.

Ensuite, on peut "descendre" le 8,comme on l'a appris précédemment.

Et on finit la division sans particularité.

Voici, le travail.

On écrit la réponse sur la fiche et on reprend une fiche avec des cadres pour effectuer l'opération suivante.

Là, c'est fini!


Fiche "Division d'un décimal par un entier - série 1"
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On aborde à nouveau cette notion en cours en sixième. Il est donc important que l'on puisse la revoir. J'ai, pour l'occasion, préparé une autre série de fiches du même type que celles présentées ci-dessus. Par contre, dans cette nouvelle série, il est possible qu'il y ait un reste à la division. J'ai aussi modifié la fiche "support" pour aider notre fils à trouver les chiffres à mettre au quotient. On a abandonné les petites tables de multiplication qu'il connaît par coeur, au profit de la fiche que je vous présente sur la troisième photo. Puis, je conclus chaque fiche, par une reprise du vocabulaire de la division en prenant en compte les relations qui existent entre les différents éléments.


Le petit roi pose l'opération.
Il n'oublie pas de tracer "la ligne de la virgule", qui lui permettra de savoir à quel moment il faut mettre la virgule dans le quotient.


Le petit roi connaît les tables de multiplication par coeur. Il a, par contre, toujours du mal à trouver le chiffre à mettre au quotient. Je lui propose cette nouvelle feuille qui ne comporte que les résultats. C'est un pas supplémentaire vers l'autonomie...

Il y a un chiffre au diviseur, donc on commence par étudier un seul chiffre au dividende. Dans 1, combien de fois 8? Le petit roi regarde la table des 8 sur la fiche support. Il place le "1" du dividende entre le 0 et le 8. Il sait donc qu'il doit mettre au quotient le chiffre dont la multiplication par 8 donne 0, soit 0 !
Il descend ensuite les autres chiffres du dividende au fur et à mesure.....



Ici, pour descendre le "6", il faut qu'il franchisse la ligne de la virgule, donc il met la virgule au quotient.

Il faut qu'il trouve combien de fois "8" dans "36". Il regarde la feuille "support" et voit que "36" se situe entre "32" et "40. Il choisit donc "32" (je lui ai appris que l'on choisit toujours celui qui est "au dessus") et il cherche le chiffre dont la multiplication par "8" donne "32". Il trouve "4" tout seul.



Il complète la bande "opération" de la fin de la fiche pour réviser le vocabulaire de la division (voir ici)

Fiche "Division d'un décimal par un entier - série 2"
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Continuer une division après le quotient entier.

Dans certains cas, la division euclidienne donne un quotient entier et un reste. Il est parfois possible de pousuivre la division en division décimale afin d'obtenir un quotient exact lorsque la division se termine.
L'objet de ces fiches est double :

On écrit le dividende à gauche du cadre pour pouvoir ajouter ensuite une virgule et des zéros pour continuer la division.

On utilise la fiche support que je vous ai présentée ci-dessus.

On écrit les différentes étapes comme on le faisait précédemment....

Comme il y a un reste, on met une virgule et un zéro au dividende pour pouvoir poursuivre.

Comme on a mis une virgule, on trace la ligne de la virgule. On ajoute autant de zéros au dividende que nécessaire.

Après le 5 au quotient, il n'y a plus de reste. La division est donc finie et on a trouvé la valeur exacte du quotient.

Fiche "Continuer une division après le quotient entier"
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Trouver la valeur approchée d'un quotient.

Certaines divisions ne se terminent pas..... Il y a toujours un reste. Dans ce cas, on peut proposer de trouver une valeur approchée du quotient. Les fiches ci-dessous demandent un quotient arrondi au centième. Pour cela, on utilise une technique que l'on a déjà travaillé sur l'arrondi des nombres décimaux (voir ici)




On utilise la fiche support pour réaliser la division.

On écrit les différentes étapes comme on le faisait précédemment....

Comme il y a un reste, on met une virgule et un zéro au dividende pour pouvoir poursuivre.

Franchissant la ligne de la virgule, on met une virgule au quotient.


Et on continue la division, au moins 4 chiffres après la virgule pour que le petit roi se rende bien compte que cette division ne finit pas...


On rappelle, sur la deuxième feuille, le quotient que l'on a trouvé.


Pour arrondir au centième, on cache les chiffres qui sont après celui des centièmes.

On écrit ce nombre dans la colonne de gauche

On écrit le nombre qui suit dans la colonne de droite.
On regarde le chiffre des millièmes, ici 8. En regardant les petits chiffres au dessus des colonnes, on s'aperçoit que la valeur approchée est donc 113,43.

Fiche "Trouver la valeur approchée d'un quotient"
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Dans le même ordre d'idée, on a cherché la valeur approchée d'un quotient au dizième, mais cela est cette fois présentée sous la forme de résolution de petits problèmes.



Fiche "Trouver la valeur approchée d'un quotient - problème"
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